Ce cours peut ˆetre librement copi´e et distribu´e. La version la plus r´ecente peut ˆetre t´el´echarg´ee `a partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Pri`ere d’adresser les remarques, corrections ou suggestions `a l’auteur : alp@math.jussieu.fr Int´egrale Simple. par Alain Prout´e Universit´e Denis Diderot — Paris 7 Table des mati`eres 1 Pr´eliminaires. 2 1.1 Quelques questions de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Le th´eor`eme des accroissements finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Fonctions r´egl´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Int´egrale d’une fonction r´egl´ee. 5 2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Techniques de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Majoration des int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Application aux nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.6 Primitives des fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Int´egrales g´en´eralis´ees. 15 3.1 Convergence et crit`ere de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Crit`ere d’Abel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Int´egrales d´ependant d’un param`etre. 18 4.1 Cas d’un intervalle compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Cas d’un intervalle non compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3 Un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Solution des exercices. 26 Table des mati`eres Nous traitons ici l’int´egrale de Cauchy, c’est-`a-dire l’int´egrale de Riemann restreinte aux seules fonc- tions r´egl´ees. Ceci suffit `a couvrir les besoins de l’int´egration ´el´ementaire. Dans tout ce chapitre, [a, b] (a ≤ b) d´esigne un intervalle compact de R, et I un intervalle quelconque de R. On prendra garde au fait que certains r´esultats ne sont valables que sur des intervalles compacts.