CHAPITRE IV CHAPITRE IV CHAPITRE IV CHAPITRE IV CHAPITRE IV CHAPITRE IV CHAPITRE IV L’int´egrale de Riemann. L’int´egrale de Riemann. L’int´egrale de Riemann. L’int´egrale de Riemann. L’int´egrale de Riemann. L’int´egrale de Riemann. L’int´egrale de Riemann. I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann sur un I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann sur un I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann sur un I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann sur un I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann sur un I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann sur un I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann sur un intervalle ferm´e born´e : d´efinition, exemples. intervalle ferm´e born´e : d´efinition, exemples. intervalle ferm´e born´e : d´efinition, exemples. intervalle ferm´e born´e : d´efinition, exemples. intervalle ferm´e born´e : d´efinition, exemples. intervalle ferm´e born´e : d´efinition, exemples. intervalle ferm´e born´e : d´efinition, exemples. II - Propri´et´es g´en´erales de l’int´egrale. II - Propri´et´es g´en´erales de l’int´egrale. II - Propri´et´es g´en´erales de l’int´egrale. II - Propri´et´es g´en´erales de l’int´egrale. II - Propri´et´es g´en´erales de l’int´egrale. II - Propri´et´es g´en´erales de l’int´egrale. II - Propri´et´es g´en´erales de l’int´egrale. III - L’int´egrale fonction d’une extr´emit´e de l’intervalle III - L’int´egrale fonction d’une extr´emit´e de l’intervalle III - L’int´egrale fonction d’une extr´emit´e de l’intervalle III - L’int´egrale fonction d’une extr´emit´e de l’intervalle III - L’int´egrale fonction d’une extr´emit´e de l’intervalle III - L’int´egrale fonction d’une extr´emit´e de l’intervalle III - L’int´egrale fonction d’une extr´emit´e de l’intervalle d’int´egration et m´ethodes de calcul. d’int´egration et m´ethodes de calcul. d’int´egration et m´ethodes de calcul. d’int´egration et m´ethodes de calcul. d’int´egration et m´ethodes de calcul. d’int´egration et m´ethodes de calcul. d’int´egration et m´ethodes de calcul. IV - G´en´eralisation de la notion d’int´egrale. IV - G´en´eralisation de la notion d’int´egrale. IV - G´en´eralisation de la notion d’int´egrale. IV - G´en´eralisation de la notion d’int´egrale. IV - G´en´eralisation de la notion d’int´egrale. IV - G´en´eralisation de la notion d’int´egrale. IV - G´en´eralisation de la notion d’int´egrale. I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann I - Fonctions int´egrables au sens de Riemann 1. Introduction. Soient a et b des r´eels, avec a < b, soit f : [a, b] → R une application continue. Si F est une primitive de f sur [a, b] alors on note � b a f(t)dt = F(b) − F(a). Deux questions se posent : - Une primitive de f existe-t-elle toujours ? - Comment g´en´eraliser cette notion pour d’autres classes de fonctions que les fonctions continues ? On remarque en reprenant l’exemple pr´ec´edent et en consid´erant une subdivision de [a, b] : a0 = a < a1 < . . . < an = b que l’on a : F(b) − F(a) = n−1 � k=0 � F(ak+1 − F(ak) � et d’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis ∀i ∈ {0, . . . , n − 1} il existe bi ∈]ai, ai+1[ tel que F(ai+1) − F(ai) = (ai+1 − ai) f(bi). Si on pose Mi = sup x∈[ai,ai+1] f(x) et mi = inf x∈[ai,ai+1] f(x) on a : n−1 � i=0 (ai+1 − ai)mi ≤ � b a f(t)dt ≤ n−1 � i=0 (ai+1 − ai)Mi on peut penser que si on augmente la “finesse” de la subdivision, on obtient � b a f(t)dt comme “limite” commune des deux valeurs d’encadrement. Toute ceci va ˆetre pr´ecis´e. 66