Probl`emes de Math´ematiques Ph´enom`ene de Gibbs ´Enonc´e Ph´enom`ene de Gibbs On d´efinit une application f, 2π-p´eriodique et impaire par : � ∀x ∈]0, π[, f(x) = 1 f(0) = f(π) = 0 1. Montrer que le d´eveloppement en s´erie de Fourier de f est : f(x) = 4 π +∞ � n=0 sin(2n + 1)x 2n + 1 . [ S ] 2. Pour tout entier n ≥ 1, on pose : ∀x ∈ IR, fn(x) = 4 π n−1 � k=0 sin(2k + 1)x 2k + 1 . On sait donc que la suite (fn)n≥1 est simplement convergente vers f sur IR. (a) La convergence de la suite (fn)n≥1 est-elle uniforme sur IR ? [ S ] (b) Montrer que si x ∈ IR − πZZ, et n ∈ IN∗, Tn(x) = n−1 � k=0 sin(2k + 1)x = sin2 nx sin x . [ S ] (c) On se donne un r´eel a de � 0, π 2 � . Pr´eciser un majorant de ;;;Tn(x);;; sur [a, π − a]. [ S ] (d) Montrer que pour n dans IN∗ et x dans [a, π − a], on a : ;;;f(x) − fn(x);;; ≤ 4 nπ sin a. Indication : consid´erer fn+p(x) − fn(x) (o`u p ≥ 2), remarquer que sin(2k + 1)x = Tk+1(x) − Tk(x), majorer en valeur absolue et faire tendre p vers +∞. [ S ] (e) En d´eduire que (fn)n≥1 converge uniform´ement vers f sur tout compact de ]0, π[. [ S ] 3. Dans cette question, on ´etudie les variations de fn. (a) Montrer que pour l’´etude de fn, on peut se ramener `a l’intervalle I = [0, π 2 ]. [ S ] (b) Montrer que : ∀x ∈ IR − πZZ, ∀n ∈ IN∗, f ′ n(x) = 2 π sin 2nx sin x . [ S ] (c) Montrer que fn pr´esente un premier maximum sur I en xn = π 2n. [ S ] (d) Montrer que lim n→+∞ fn(xn) = 2 π � π 0 sin t t dt. Indication : utiliser une somme de Riemann pour l’application ϕ(t) = sin t t . [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.