Probl`emes de Math´ematiques Formule de Stirling “am´elior´ee” ´Enonc´e Formule de Stirling “am´elior´ee” L’objet de ce probl`eme est de prouver la formule n! = nne−n√ 2πn � 1 + 1 12n + o �1 n �� 1. On pose, pour tout entier naturel n, In = � π/2 0 sinn t dt. (a) Montrer que la suite (In) est strictement d´ecroissante et minor´ee. [ S ] (b) Montrer que pour tout n ≥ 2, on a nIn = (n − 1)In−2. [ S ] (c) En d´eduire I2n et I2n+1 `a l’aide de factorielles. [ S ] (d) Prouver que In+1 ∼ In quand n → ∞. [ S ] (e) En d´eduire la formule de Wallis : π = lim n→∞ 24n (n!)4 n · (2n)!2. [ S ] 2. On pose, pour tout n de IN∗, Sn = (n + 1 2) ln n − n − ln(n!). (a) Montrer que Sn+1 − Sn ∼ 1 12n2. [ S ] (b) En d´eduire que la suite (Sn) converge vers un r´eel λ. [ S ] (c) Montrer que, lorsque n tend vers +∞, nn e−n √n ∼ eλ n!. [ S ] 3. A l’aide de la question 1d), montrer que λ = −1 2 ln(2π). En d´eduire la formule de Stirling : n! ∼ nn e−n √ 2πn. [ S ] 4. Soient � un et � vn deux s´eries `a termes r´eels positifs, convergentes. Pour tout entier n, on note Rn = +∞ � k=n+1 uk et Tn = +∞ � k=n+1 vk. (a) On suppose que un ∼ vn. Montrer que Rn ∼ Tn. [ S ] (b) En d´eduire que si un ∼ 1 n2, alors Rn ∼ 1 n. [ S ] (c) Appliquer ce qui pr´ec`ede `a un = 12(Sn − Sn−1), et montrer que λ − Sn ∼ 1 12n. [ S ] (d) En d´eduire finalement que n! = nne−n√ 2πn � 1 + 1 12n + o �1 n �� . [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.