Exercices de Math´ematiques D´erivation et int´egration (III) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 Soit f une fonction trois fois d´erivable sur [a, b] , telle que f (3) ≥ 0. Etudier les variations de l’application ϕ d´efinie par ϕ(x) = f(x) − f(a + b − x) 2x − a − b . Exercice 2 Soit P ∈ R[X], de racines toutes r´eelles et distinctes. 1. Montrer que toutes les racines de P ′ sont r´eelles et distinctes. 2. Soit α ∈ R+∗. Montrer que toutes les racines de P 2 + α2 sont non r´eelles et distinctes. Exercice 3 Soit f ∈ C∞([a, +∞[, R). On suppose que lim x → +∞ f (n)(x) = 0 et lim x → +∞ f(x) ∈ R. Montrer alors que pour tout k de {1, . . . , n − 1}, lim x → +∞ f (k)(x) = 0. Exercice 4 Soit E l’ensemble des fonctions f : [0, 1] → R, de classe C2, telles que ∀x ∈ [0, 1], f ′′(x) ≤ 1. On pose, pour tout f de E, A(f) = f(1) − 2f(1 2) + f(0). 1. Montrer que M = sup{A(f), f ∈ E} existe dans R. 2. Trouver les fonctions f de E telles que A(f) = M. Exercice 5 Soit P = (x − a1)(x − a2) · · · (x − an), o`u les aj sont des r´eels distincts. 1. D´ecomposer en ´el´ements simples, sur R, la fraction rationnelle F = (1 + x2)n P(x)2 . 2. Montrer que les primitives de F sont des fractions rationnelles si et seulement si P satisfait `a une ´equation diff´erentielle. 3. D´eterminer le polynˆome P pour qu’il en soit ainsi. Exercice 6 Soit P ∈ C[X]. Montrer que les racines de P ′ sont dans l’enveloppe convexe de celles de P. Exercice 7 On d´efinit la suite (Hn) par : ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, (exp(−x2))(n) = (−1)n exp(−x2)Hn(x). 1. V´erifier que les Hn sont des polynˆomes (degr´e, terme dominant, parit´e ?). 2. Montrer que ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R, 2xHn−1(x) − H′ n−1(x) = Hn(x). 3. V´erifier que : ∀n ≥ 2, ∀x ∈ R, Hn(x) − 2xHn−1(x) + 2(n − 1)Hn−2(x) = 0. 4. Etablir que : ∀n ≥ 1, ∀x ∈ R, H′ n(x) = 2nHn−1(x). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.