Exercices de Math´ematiques G´eom´etrie du triangle ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Dans les exercices 1 `a 5, on utilise les notations suivantes : ⋄ Dans le plan euclidien orient´e, A, B, C d´esignent trois points non align´es. ⋄ On note a, b, c les mesures (modulo 2π) des angles � (−→ AB, −→ AC), � (−−→ BC, −→ BA) et � (−→ CA, −−→ CB). ⋄ On note (Γ) le cercle circonscrit au triangle ABC, et Ω son centre. ⋄ On note G le centre de gravit´e du triangle ABC, et H son orthocentre. Exercice 1 Montrer que � (−→ ΩA, −→ ΩB) = 2c [2π], � (−→ ΩB, −→ ΩC) = 2a [2π] et � (−→ ΩC, −→ ΩA) = 2b [2π]. Montrer que Ω est barycentre de (A, sin 2a), (B, sin 2b), (C, sin 2c) Exercice 2 Montrer que M (distinct de A, B, C) appartient `a (Γ) ⇔ � (−−→ MB, −−→ MC) = � (−→ AB, −→ AC) [π]. Exercice 3 Soient AM, BM, CM les projections d’un point M sur les droites (BC), (CA), (AB). Montrer que AM, BM, CM sont align´es ⇔ Le point M appartient `a (Γ). La droite joignant AM, BM, CM est alors appel´ee droite de simson du point M. Exercice 4 On veut montrer que les hauteurs de ABC sont concourantes en un point H (orthocentre.) 1. Premi`ere m´ethode. Par chacun des sommets du triangle ABC on m`ene la parall`ele au cot´e oppos´e. Consid´erer le triangle A′B′C′ d´efini par ces trois droites. 2. Deuxi`eme m´ethode. Montrer que le point J d´efini −→ ΩJ = 3−→ ΩG est sur les trois hauteurs de ABC. La droite qui contient G, Ω, H est appel´ee droite d’Euler du triangle ABC. Exercice 5 On voit ici quelques propri´et´es de l’orthocentre H de ABC. 1. Montrer que les sym´etriques de H par rapport aux milieux des cot´es de ABC sont sur (Γ). Pr´eciser la position de ces points par rapport aux sommets A, B, C. 2. Montrer que les sym´etriques de H par rapport aux cot´es de ABC sont sur (Γ). 3. On note ℓA, ℓB, ℓC les longueurs des cot´es BC, CA, AB. Montrer que H est barycentre de (A, µA), (B, µB), (C, µC), avec : µA = ℓA cos b cos c, µB = ℓB cos a cos c, µC = ℓC cos a cos b. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.